Наверное, вертят как хотят :-(
 

Мы были прописаны у родителей. Хотели с мужем выписаться в новую квартиру, а ребенка оставить прописанным у бабушки. Не разрешили.

что именно? не все просто именно в ЖК написано.
 

ну, вот про прописку - регитсрацию где почитать? :) (-)

Насколько я поняла, необязательно. Но прописаться -
 

только вместе с родителем. Правда, этот момент я в деталях не уточняла ;-)

могу только приветствовать такую гражданскую позицию.
 

но к рассматриваемому случаю она вряд ли имеет отношение.

если вас интересует какие виды регистрации на какой случай есть
 

начните с закона
О ПРАВЕ ГРАЖДАН РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НА СВОБОДУ ПЕРЕДВИЖЕНИЯ, ВЫБОР МЕСТА ПРЕБЫВАНИЯ
И ЖИТЕЛЬСТВА В ПРЕДЕЛАХ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

и (в отношении иностранцев)

О ПРАВОВОМ ПОЛОЖЕНИИ ИНОСТРАННЫХ ГРАЖДАН
В РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ