Еще про пенсию. Вопрос

Пенсионеры прописаны и живут в Москве, соответственно получают "московскую прибавку"- не знаю как называется эта часть пенсии.
Скорее всего, будет необходимость ту квартиру, где они прописаны, продать и выписать их в Подмосковье. Таким образом "московскую прибавку" они теряют.

Вопрос - когда они обратно переедут и пропишутся в Москве, они так же станут получать эту "прибавку"? И как ее восстановить?

И не будет ли проблем с пропиской?